NUMEROS REALES

Universidad andina del cusco

Carrera:    Administración

Especialidad: matemática I

Números

reales

Licenciado :       Jorge caceres

Alumna :     Georgina lopez itusaca

SEMESTRE: 2  

NUMEROS REALES

A continuación les presento el trabajo de los números reales :

Los números naturales surgen como respuesta a la necesidad de nuestros antepasados de contar los elementos de un conjunto ( por ejemplo los animales de un rebaño ) y de asignar un símbolo a una determinada cantidad de objetos .

A lo largo de la historia , cada cultura ha utilizado diferentes símbolos para representar un número y ha usado distintas reglas para escribirlos y trabajar con ellos En otras palabras se an utilizado diferentes sistemas de  numeración , sistema de egipcios ., sistema romano , sistema chino .

El primer conjunto numérico que se considera es el de los números naturales representado por

N : ( 1,2,3,4,5…)

Un número real puede ser un número racional o un número irracional. Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos los demás.

Adición de Números Reales

En la adición de números reales, los términos que intervienen son los sumandos y el resultado, donde el orden de los sumandos no altera el resultado.

a+b = b+aa+b = b+a

al ser, los números reales, un conjunto que incluye los números negativos, la suma de negativos es posible, sin tener que recurrir a otro conjunto de números. Entonces, las sumas se pueden realizar como:

a+(−b)= (−b)+a =−b+a

Sustracción de Números Reales

A pesar de que todas las operaciones de sustracción de números reales pueden ser expresadas como sumas, como se podía ver en el ejemplo anterior, también en la sustracción existen reglas para evitar confusiones. Pues, los términos que intervienen en esta operación, son el sustraendo, el minuendo y el resultado. El sustraendo siempre va primero, el minuendo va siempre después, logrando que el orden de los términos si acabe por afectar al resultado.

a−b≠b−a

a−b≠b−a

Donde a+(−b)a+(−b)  si es igual a (−b)+a(−b)+a. Por lo cual, para poder cambiar de orden a los términos de una resta, se debe usar el inverso aditivo o el negativo del sustraendo para que de esta manera no se vaya a alterar el resultado.

Multiplicación de números Reales

En la multiplicación de números reales, los términos son los factores y el producto o resultado. En esta operación, los factores no alteran el producto, sin embargo, existen otras reglas para multiplicar cuando se tienen números negativos.

Al multiplicar dos factores con el mismo signo positivo, la respuesta será la misma multiplicación, sin cambios.

a×b=c

a×b=c

Pero al multiplicar dos factores con signo negativo, el cambio se dará bajo la regla de:

+⋅+=+

+⋅+=+

+⋅−=−

+⋅−=−

−⋅+=−

−⋅+=−

−⋅−=+

−⋅−=+

Por lo tanto, si tenemos dos factores con signo negativo, la regla sería.

−a×−b=c

−a×−b=c

Si se calcula dos factores, ambos con signo diferente, uno positivo y otro negativo, entonces la respuesta va a ser negativa.

a×−b=−c

a×−b=−c

−a×b=−c

−a×b=−c

Al operar con varios factores de signos variados, se debe contar la cantidad de factores con signo negativo. Si hay un número par, el resultado es positivo. Si hay un número impar, el resultado es negativo.

a×−b×−c=d

a×−b×−c=d

a×−b×c=−d

a×−b×c=−d

Si se multiplica por 1, cualquier factor daría como resultado el mismo factor.

a×1=a

a×1=a

Si se multiplica por cero, el resultado será cero.

a×0=0

a×0=0

División de números Reales

En la división de números reales, se aplican las mismas reglas de signos que en la multiplicación. Y en las fracciones, si uno de los dos términos tienen signo negativo, toda la fracción se convierte en un número negativo.

a−b=−ab=−ab

a−b=−ab=−ab

Sin embargo, la división solo se puede realizar entre números mayores o menores que cero, mas no el mismo cero, ya que el resultado no está definido en estos casos.

Potenciación de números Reales

La potenciación tiene varias reglas como:

a0=1

a0=1

a1=a

a1=a

Multiplicación y división de potencias con la misma base.

am×an=am+n

am×an=am+n

am÷an=am−n

am÷an=am−n

Potencia de potencia.

(am)n=am×n

(am)n=am×n

Multiplicación y división de potencias con el mismo exponente.

an×bn=(a×b)n

an×bn=(a×b)n

an÷bn=(a÷b)n

an÷bn=(a÷b)n

Propiedades de Números Reales

Todo número real tiene su inverso, es decir que 8 tiene su inverso -8 así como ππ   tiene a -ππ .

El valor absoluto de un número real está marcado por su posición en la recta numérica en relación al cero. Si se encuentra a la derecha del cero, significa que es mayor que 0 y por lo tanto su signo es positivo. Si, por el contrario, se encuentra a la izquierda del cero, su valor es negativo, porque es menor que 0.

Existen otras reglas como la de que no existen raíces de orden par en los números reales para los negativos, ya que su respuesta sería indefinida. Las raíces cuadradas, cuartas, sextas, etcétera, están definidas dentro del conjunto de números complejos y por lo tanto se excluyen de esta clasificación.

Esto concluye nuestra discusión sobre operaciones con números reales.

LOS NUMEROS REALES :

EL CONJUNTO FORMADO POR TODOS LOS NUMEROS RACIONALES Y LOS IRRACIONALES ES EL DE LOS NUMEROS REALES , DE MODO QUE TODOS LOS NUMEROS NATURALES ,

ENTEROS , RACIONALES ,IRRACIONALES ) SON REALES . ESTOS SON NUMEROS OCUPAN LA RECTA NUMERICA PUNTO A PUNTO , POR LO QUE SE LLAMA RECTA REAL

ENTRE LOS NUMEROS REALES ESTAN DEFINIDAS LAS MISMAS OPERACIONES QUE ENTRE LOS RACIONALES (SUMA , RESTA ,MULTIPLICACION Y DIVISION , SALVO POR CERO .

LOS NUMEROS NATURALES (1,2,3,4,5..) SON SUBJCONJUNTOS DE LOS NUMEROS ENTEROS .

LOS ENTEROS (…2.-1.0.1.2) SON UN SUBJCONJUNTO DE LOS NUMEROS RACIONALES

LOS NUMEROS RACIONALES Y LOS NUMEROS IRRACIONALES I SUBJCONJUNTOS DE LOS NUMEROS REALES ….1/2

El conjunto formado por los       números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales, se designa por .

La recta real

A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número real.

Representación de los números reales

Los números reales pueden ser representados en la recta con tanta aproximación como queramos, pero hay casos en los que podemos representarlos de forma exacta.

Realiza las siguientes operaciones:

a) ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ − − 4 3 2 1 14 4 2 1 7 2 b) ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ − 2 4 1 5 3 3 4 5 2

Solución: a) 11/28 b) 91/80

NUMEROS REALES Y SUS PROPIEDDADES

Números reales y sus propiedades. (Notas redactadas por A. DIEGO y M. I. PLATZECK para el curso de Matemática General)

 Los números naturales 1, 2, 3, ... , han sido creados por el hombre para contar los objetos de conjuntos finitos, el número natural n es una medida de la cantidad de objetos de un conjunto. Pero es necesario medir o comparar también longitudes, áreas, volúmenes, pesos, cantidades de calor, de electricidad, etc.. Para este tipo de cantidades sabemos decidir cuándo dos de ellas son equivalentes o iguales, mediante experiencias apropiadas. (Dos varillas que se pueden hacer coincidir son iguales en longitud, dos cuerpos que equilibran una balanza de platillos son iguales en peso, etc.). Se sabe además sumar dos cantidades de una misma especie y subdividir una cantidad dada en n partes iguales.

 De ahora en adelante, consideraremos el problema de medir cantidades en el caso de longitudes. El problema de precisar la noción de medida o longitud de un segmento se presentó tempranamente a los geómetras griegos hace unos 25 siglos.

 Dado un segmento OU que se considerará como unidad de medida y otro segmento PQ, puede ocurrir que PQ se pueda partir en n segmentos iguales a OU; en este caso n es la medida o longitud del segmento PQ (con respecto a la unidad OU ).

 Naturalmente, la circunstancia anterior es casual. En general, OU no “cabrá un número exacto de veces” en PQ.

Subdividamos ahora la unidad OU en m partes iguales. Se dice que cada una de estas partes

(submúltiplos de OU) tiene longitud igual a 1 m . Si se tiene un segmento PQ que puede dividirse en exactamente n partes iguales de longitud 1 m , se dice que la longitud de PQ es n m .

 En el ejemplo de la siguiente figura, la longitud de PQ (con respecto a la unidad OU ) es 7 5 . O U P

En la figura siguiente, el segmento AC es el segmento suma de los segmentos

 AB y BC. A B C

OBSERVACIONES: 1) Es claro que si se subdivide la unidad OU en m partes iguales y luego cada una de ellas en p partes iguales, la unidad OU quedó subdividida en m ⋅ p partes, de modo que la medida de cada una de ellas es m ⋅ p 1 .

Necesitaremos entonces p segmentos consecutivos de esa medida para obtener uno de los

segmentos resultantes de la primera subdivisión, es decir que: m p p m ⋅ = 1 .

SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

 Recordemos con un ejemplo el significado de la representación decimal de un número:

 2 3 3 2 10 1  10 1 7 10 1 1983,271 = 1⋅10 + 9 ⋅10 + 8 ⋅10 + 3⋅1+ 2 ⋅ + ⋅ + ⋅ .

Observemos en este punto que un número cuya representación decimal es finita, es un número racional.

El sistema decimal de escritura ha conducido naturalmente a la adopción del sistema métrico decimal; en términos generales, este sistema consiste en medir cantidades utilizando submúltiplos iguales a 1 10 , 1 102 , 1 103 , etc., de la unidad de medida.

 Es claro lo que significa decir que un segmento mide 1983,271.

Pero al medir un segmento PQ puede ocurrir que su medida x no sea un múltiplo de 1 10n , por grande que elijamos a n.

 En este caso el número decimal finito (luego racional) obtenido en el proceso de medición es sólo una medida aproximada por defecto del segmento PQ (con un error menor que a a 0 1a2 a3 an , L 1 10n ).

Objetivo de Aprendizaje

·         Sumar y restar polinomios

Introducción

Sumar y restar polinomios puede sonar complicado, pero en realidad no es muy distinto de sumar y restar números. Cualquiera de los términos que tengan las mismas variables con los mismos exponentes pueden ser combinados.

Sumando Polinomios

Sumar polinomios implica combinar términos. Los términos semejantes son monomios que contienen la misma variable o variables elevadas a la misma potencia. Los siguientes son ejemplos de términos semejantes y no semejantes:

Monomios	Términos	Explicación
3x 14x	semejante	las mismas variables con los mismos exponentes
16xyz2 -5xyz2	semejante	las mismas variables con los mismos exponentes
3x 5y	no semejante	diferentes variables con los mismos exponentes
-3z -3z2	no semejante	las mismas variables con diferentes exponentes

Combinamos términos comunes al sumar o restar el coeficiente del término pero manteniendo las variables y sus exponentes. La Propiedad Distributiva es la razón por la que podemos hacer esto. Echa un vistazo al ejemplo de abajo para que veas que está bien sumar y restar los coeficientes de los términos comunes:

Ejemplo
Problema	Simplificar
			Reescribir la expresión usando la Propiedad Distributiva
			Sumar los términos en los paréntesis
			Reescribir usando la Propiedad Distributiva
Solución

Acabamos de ver cómo sumar dos monomios que tienen términos comunes. También podemos aplicar las propiedades de los números cuando sumamos polinomios. Para sumar polinomios, reorganiza la expresión juntando los términos comunes para combinarlos más fácilmente:

Ejemplo
Problema	(8x2  + 4x + 12) + (2x2  + 7x + 10)
	(8x2 + 2x2) + (4x + 7x) + (12 + 10)		Reagrupar usando las Propiedades Conmutativa y Asociativa
	10x2 + 11x + 22		Sumar términos comunes
Solución	10x2 + 11x + 22

El procedimiento es el mismo cuando sumamos polinomios que contengan coeficientes negativos o resta como se muestra abajo:

Ejemplo
Problema	(-5x2 – 10x – 7y + 2) + (3x2 – 4 + 7x)
	(-5x2 + 3x2) + (-10x + 7x) – 7y + (2 – 4)				Reagrupar usando las Propiedades Conmutativa y Asociativa
	-2x2 + (-3x) – 7y – 2				Combinar términos comunes
Solución	-2x2 – 3 x – 7y – 2

Hasta ahora, hemos sumado polinomios leyendo de izquierda a derecha sobre la misma línea. Algunas personas prefieren organizar su trabajo verticalmente, porque les es más fácil asegurarse que están combinando términos semejantes. El proceso de sumar los polinomios es el mismo, pero el arreglo de los términos es diferente. El ejemplo de abajo muestra este método "vertical" de sumar polinomios:

Ejemplo
Problema	(3x2 + 2xy – 7 ) + (7x2 – 4xy + 8)
	3x2 + 2xy – 7 + 7x2 – 4xy + 8				Escribir un polinomio debajo del otro
	3x2 + 2xy – 7 + 7x2 – 4xy + 8 10x2 – 2xy + 1				Combinar términos comunes poniendo atención en los signos
Solución	10x2 – 2xy + 1

Algunas veces en un arreglo vertical, podemos alinear cada término debajo de su semejante, como hicimos en el ejemplo de arriba. Pero otras veces no queda tan ordenado. Cuando no existe un término semejante para cada término, quedará un lugar vacío en el arreglo vertical.

Ejemplo
Problema	(4x2y + 5x2  + 3xy – 6x + 2) + (–4x2 – 8xy + 10)
4x2y + 5x2 + 3xy – 6x + 2 + – 4x2 – 8xy + 10 4x2y + x2 – 5xy – 6x + 12		Escribir un polinomio bajo el otro, alineando verticalmente los términos comunes Dejar un espacio en blanco arriba o abajo de cada término que no tenga término semejante Combinar términos semejantes, poniendo atención en los signos
Solución	4x2y + x2 – 5xy – 6x + 12

Restando Polinomios

Restar polinomios también implica identificar y combinar términos comunes. Recuerda que el signo de resta enfrente de los paréntesis es como el coeficiente de -1. Cuando restamos, podemos distribuir (-1) a cada uno de los términos en el segundo polinomio y luego sumar los dos polinomios. Veamos un ejemplo:

Ejemplo
Problema		(15x2 + 12xy + 20) – (9x2 + 10xy + 5)
(15x2 – 9x2) + (12xy – 10xy) + (20 – 5)			Distribuir -1 a los términos en el segundo polinomio, luego reagrupar para que coincidan los términos semejantes
	6x2  + 2xy + 15		Combinar términos semejantes
Solución	6x2  + 2xy + 15

Cuando los polinomios incluyen muchos términos, puede ser fácil perder la noción de los signos. Sé muy cuidadoso de transferirlos correctamente, especialmente cuando restas un término negativo.

Ejemplo
Problema		(14x2y  + 3x2  – 5y + 14) – (7x2y  + 5x2  – 8y + 10)
(14x2y + 3x2 – 5y + 14) + (-7x2y – 5x2 + 8y – 10)			Distribuir (-1)
(14x2y – 7x2y) + (3x2 – 5x2) + (-5y + 8y) + (14 – 10)			Reagrupar términos comunes usando la Propiedad Asociativa
7x2y – 2x2 + 3y + 4			Combinar términos comunes
Solución	7x2y – 2x2 + 3y + 4

Al igual que con las operaciones enteras, la experiencia y la práctica hacen cada vez más fácil sumar y restar polinomios.

Resuelve. (4a + 5by + 7b) – (8a + 3b + 2b2y) A) -4a + 3b2y  + 4b B) -4a + 10b + 5by + 2b2y C) -4a + 4b + 5by – 2b2y D)  12a + 5by – 2b2y  + 10b Mostrar/Ocultar la Respuesta

Sumario

Cuando sumes o restes polinomios, busca términos semejantes, que son los términos que tienen las mismas variables elevadas a la misma potencia. Usa la Propiedad Conmutativa de la Suma para reagrupar los términos en una expresión y formar conjuntos de términos